.RU

Литература, использованная при подготовке материалов к данной работе 21


Муниципальная общеобразовательная

средняя школа №11





Выполнили ученицы 10 класса “Б": Алёхина Марина
Бортник Ангелина

Зайнетдинова Анастасия

Немтинова Наталья

Проверил:

Учитель Захарова С.И.


Тамбов 2005


Содержание

Введение _______________________________________________________3


История изучения геометрического тела-конус_______________________4


Конус и его элементы___________________________________________10


Построение конуса_____________________________________________13


Применение конуса в быту_______________________________________14


Применение конуса в архитектуре_________________________________15


Нахождение конуса в природе____________________________________17


Результаты проделанной работы__________________________________18


Социологический опрос среди 9-х классов на тему: «Геометрическое тело-конус»_____________________________________________________________19


Социологический опрос среди 11-х классов на тему:

«Геометрическое тело-конус» _________________________________________20


Литература, использованная при подготовке материалов к данной работе_____21


Кроссворд на тему: «Конус и его элементы»______________________________22


Введение

Современная математика сформировалась примерно 400 лет тому назад в трудах Галилея, Кеплера, Ньютона, Лейбница, одним из основных стимулов, для которых было посчитать законы движения тел. В трудах этих учёных математика и физика как бы сливались воедино. Союз математики и наук о природе принес самые яркие плоды в начале XX века. Тогда родилась теория относительности и квантовая механика.

Математические корни специальной теории относительности вскрыл выдающийся немецкий математик Герман Минковский, установивший её глубочайшую связь с геометрией Лобачевского. Это стало триумфом математики: чисто теоретические построения математика действительно оказались языком, на котором написана книга Природы. Имена Гаусса, Больяя, и Лобачевского произносятся теперь как имена героев.

С XVII в., со времен Эйлера и Лагранжа, математика служит базой для инженерных наук. Все крупные технические достижения – от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомов энергии, сверх звуковой авиации и космических полетов – были бы невозможны без математики. Потребность решить эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров, и на наших глазах техническая и информационная революция. Наше новое время это период невидимого расцвета математики. Достижения XX века, по меньшей мере, сопоставимы с результатами всего предыдущего периода её развития – от Фалеса до начала XX столетия. А число ещё не раскрытых тайн неисчерпаемо.

Фалеса, в истории науки, принято называть первым математиком. Фалес – греческий купец, путешественник и философ (он родился в VII в. до н. э.). Конечно, существуют более ранние египецкие и вавилонские источники, содержащие разнообразные арифметические и геометрические сведения, но в них нет даже намека на доказательства. Фалесу же приписывают первые математические теоремы. Кстати, Фалес не был только «чистым» математиком, он решал прикладные задачи. Измерив, тень от египецкой пирамиды и тень от шеста и применив свои теоремы о подобии, он вычислил высоту пирамиды. Так, по легенде, родилась наша наука.

В прежние времена, вплоть до конца XIX столетия, математикой занимались немногие. Сейчас ей посвящают жизнь десятки, а возможно сотни тысяч людей. Людей, для которых знание математики являются профессиональной

потребностью, с каждым годом становится всё больше. Но нужно ли учить математике всех? С сомнения в необходимости не только математического, но и, более широкого, научного образования вообще время от времени высказывают в разнообразных дискуссиях, как в России, так и за её пределами.

На вопрос «для чего изучают математику?» замечательно ответил ещё в XII

веке английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества».




^ История изучения геометрического тела конус


Первоначальные сведения о свойствах геометрических тел люди нашли, наблюдая окружающий мир и в результате практической деятельности. Со временем ученые заметили, что некоторые свойства геометрических тел можно выводить из других свойств путем рассуждения. Так возникли теоремы и доказательства.

Появилось естественное желание по возможности сократить число тех свойств геометрических тел, которые берутся не­посредственно из опыта. Утверждения, оставшиеся без дока­зательства свойств стали аксиомами. Таким образом, аксиомы имеют опытное происхождение.

Геометрия в ранний период своего развития достигла особенно высокого уровня в Египте. В первом тысячелетии до нашей эры геометрические сведения от египтян перешли к грекам. За период с VII по III век до нашей эры гре­ческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми теоремами, но сделали также серьезные шаги к строгому ее обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена Евклидом в его знаменитом труде «Начала».

^ ЕВКЛИД(330-275гг. до н.э.) Сведения о времени и месте его рождения до нас не дошли, однако известно, что Евклид жил в Александрии и расцвет его деятельности приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера. Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427—347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287—212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил «Начала» изложением т. н. платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны — его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею «О шаре и цилиндре». С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.

В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом.

Неподвижный катет, вокруг которого поворачивается треугольник, называется осью конуса, а круг, описываемый вращающимся катетом, называется основанием конуса. Евклид рассматривает только прямые конусы,

т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию, лишь Аполлоний различает прямые и косые конусы, у которых ось образует с основанием угол, отличный от прямого.

В XII книге «Начал» Евклида содержится следующие теоремы.

  1. ^ Объём конуса равен одной трети объёма цилиндра с равным основанием и равной высотой; доказательство этой теоремы принадлежит Евдоксу Книдскому.

  2. Отношение объёмов двух конусов с равными основаниями равно отношению соответствующих высот.

^ Если два конуса равновелики, то площади их оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам и наоборот.


ДЕМОКРИТ (лат. Demokritos, греч. Дим˜окритос) (около 460 до н.э., Абдера, Фракия — около 360 до н.э.), древнегреческий философ, основоположник атомистического учения.

Демокрит был родом из богатой семьи. Согласно передаваемой Диогеном Лаэртием легенде, учился у каких-то магов и халдеев, подаренных персидским царем Ксерксом отцу Демокрита за то, что тот угостил проходившее через Фракию персидское войско обедом. По смерти отца истратил свою часть богатого наследства на путешествия, посетив Персию и Вавилон, Индию и Египет. Некоторое время жил в Афинах, где инкогнито слушал Сократа; возможно, встречался с Анаксагором. Традиционно считается, что наибольшее влияние на Демокрита оказал атомист Левкипп, однако именно с именем Демокрита связывают возникновение атомизма как универсального философского учения, включающего физику и космологию, эпистемологию, психологию и этику; учения, возникшего как синтез проблематики трех древнейших философских школ Греции: милетской, элейской и пифагорейской. Идею атомизма ученый последовательно применял во всех своих исследованиях: в математике, физике, астрономии, биологии, психологии, культуре, политике, логике.


Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы объема конуса и изложенных в пяти предложениях 12 книги “Начал” Евклида, дал ^ ЕВДОКС КНИДСКИЙ. В первом из них методом исчерпывания доказывается, что объем конуса равен 1/3 объема цилиндра, имеющего то же основание и ту же высоту. В следующем предложении тем же методом доказывается, что отношение объемов конусов с равными высотами равно отношению площадей их оснований. В третьем из упомянутых предложений доказывается, что объемы 2 подобных конусов, т. е. таких, у которых оси и диаметры оснований пропорциональны, относятся как кубы диаметров. Наконец, в последних 2 предложениях устанавливается, что отношение объемов 2 конусов, площади оснований которых равны, равно отношению высот. По определению Евклида, конус образуется от вращения прямоугольного треугольника, вокруг одного из катетов.

^ АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ (ок.260-ок.170гг до н. э.), древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида дал полное изложение теории и основанных им трудов «Конические сечения» в восьми книгах. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа: параболу, эллипс, гиперболу.

У Евклида нет понятия конической поверхности, оно было введено Аполлонием в его “Конических сечениях”, при этом он имел в виду обе плоскости конуса. Вот что пишет АПОЛЛОНИЙ: «Если от какой-либо точки окружности круга, который не находится в одной плоскости с некоторой точкой, проводить прямые, соединяющие эту точку с окружностью, и при неподвижности точки перемещать прямую по окружности, возвращая ее туда, откуда началось движение, то поверхность, описанную прямой и составленную из 2 поверхностей, лежащих в вершине друг против друга, из которых каждая бесконечно увеличивается, если бесконечно продолжать описывающую прямую, я называю конической поверхностью, неподвижную же точку - её вершиной, а осью - прямую, проведённую через эту точку и центр круга». Определение конической поверхности Аполлония воспроизведено в современных школьных учебниках с существенной заменой круга на любую линию, так называемую направляющую.


АРХИМЕД (лат. Archimedes, греч. Архим˜идис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия — 212 до н.э., там же), древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике (закон Архимеда) дал образцы применения математики в естествознании и технике. Архимеду принадлежит множество технических изобретений (архимедов винт, определение состава сплавов взвешиванием в воде, системы для поднятия больших тяжестей, военные метательные машины), завоевавших ему необычайную популярность среди современников.

Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия, родственника сиракузского тирана Гиерона II, покровительствовавшего Архимеду. В юности провел несколько лет в культурном крупнейшем центре того времени Александрии Египетской, где познакомился с Эратосфеном. Затем до конца жизни жил в Сиракузах. Во время Второй Пунической войны (218-201), когда Сиракузы были осаждены войском римского полководца Марцелла, Архимед участвовал в обороне города, строил метательные орудия. Военные изобретения ученого (о них рассказывал Плутарх в жизнеописании полководца Марцелла) в течение двух лет помогали сдерживать осаду Сиракуз римлянами. Архимеду приписывается сожжение римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но при взятии Сиракуз Архимед был убит.


В трактате «О коноидах и сфероидах» Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении «О спиралях» исследует свойства кривой, получившей его имя (см. Архимедова спираль) и касательной к ней. В трактате «Измерение круга» Архимед предлагает метод определения числа pi, который использовался до конца 17 в., и указывает две удивительно точные границы числа p: 3 10/71
1/7. В «Псаммите» («Исчисление песчинок») Архимед предлагает систему счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. В «Квадратуре параболы» определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью «механического» метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем. Кроме того, Архимеду принадлежат «Книга лемм», «Стомахион» и обнаруженные только в 20 веке «Метод» (или «Эфод») и «Правильный семиугольник». В «Методе» Архимед описывает процесс открытия в математике, проводя четкое различие между своими механическими приемами и математическим доказательством.

В физике Архимед ввел понятие центра тяжести, установил научные принципы статики и гидростатики, дал образцы применения математических методов в физических исследованиях. Основные положения статики сформулированы в сочинении «О равновесии плоских фигур». Архимед рассматривает сложение параллельных сил, определяет понятие центра тяжести для различных фигур, дает вывод закона рычага. Знаменитый закон гидростатики, вошедший в науку с его именем (смотри Архимеда закон), сформулирован в трактате «О плавающих телах». Существует предание, что идея этого закона посетила Архимеда, когда он принимал ванну; с возгласом «Эврика!» он выскочил из ванны и нагим побежал записывать пришедшую к нему научную истину.

Архимед построил небесную сферу — механический прибор, на котором можно было наблюдать движение планет, Солнца и Луны (описан Цицероном; после гибели Архимеда планетарий был вывезен Марцеллом в Рим, где на протяжении нескольких веков вызывал восхищение); гидравлический орган, упоминаемый Тертуллианом как одно из чудес техники (изобретение органа некоторые приписывают александрийскому инженеру Ктесибию). Считается, что еще в юности, во время пребывания в Александрии, Архимед изобрел водоподъемный механизм (смотри Архимедов винт), который был применен при осушении залитых Нилом земель. Он построил также прибор для определения видимого (углового) диаметра Солнца (о нем Архимед рассказывает в трактате «Псаммит») и определил значение этого угла. Архимеду принадлежит первенство во многих открытиях из области точных наук. До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них — «О шаре и цилиндре» (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 — открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета (памятник через полтора века видел Цицерон). В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда (называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в современной математике.

В «Началах» Евклида мы находим определение только объёмов цилиндра и конуса, площадь же боковых поверхностей была найдена Архимедом. В14-м предложении его произведения «О шаре и цилиндре» он доказал следующую теорему: «Поверхность

всякого равнобедренного (т.е. прямого кругового) конуса, за вычетом основания, равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной (т.е. образующей) конуса и радиуса круга, являющегося основанием конуса». Площадь S боковой поверхности дается таким образом (в современных символах) формулой S=Pi*(lr)^2=Pirl, где l – длина образующей, r – радиус основания конуса. «Равнобедренным» прямой круговой конус называется потому, что он имел в осевом сечении равнобедренный треугольник.


^ КОВАЛЬЕРИ БОНАВЕНТУРА (1598-1647), итальянский математик описал в своих сочинениях (1635) вычисления площадей и объемов фигур с помощью так называемого метода «неделимых».

Непосредственное вычисление объёма конуса даёт ^ ГЕРОН АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ (ок. 1 в.). Герон Александрийский - древнегреческий ученый. Дал систематическое изложение основных достижений античного мира по прикладной механике и математике. Изобрел ряд приборов и автоматов. [4]





^ ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856), российский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827-46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829-30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления. Труды по алгебре, математическому анализу, теории вероятностей, механике, физике и астрономии.

Родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807. По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 — адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета.

При Лобачевском Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека. В 1825 Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг.).

По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.

Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг.) к берегам Антарктиды.

Величайшим научным подвигом считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».

В 1835 Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжение двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки, будучи, наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Лобачевский исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» — квинтэссенции повседневного опыта.

Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского, в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.

К неевклидовой геометрии пришел также Янош Бойяи, но в менее полной форме и на 3 года позже (1832).

Открытие Лобачевского поставило перед наукой, по крайней мере, два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобачевского существовала только одна геометрия — евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т.е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида). Что же касается геометрии Лобачевского, то она действует в пространстве релятивистских (т.е. близких к скорости света) скоростей. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.
^ Конус и его элементы
Латинское слово conus позаимствовано из греческого языка («конус» - затычка, втулка, сосновая шишка).

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, кото­рое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вер­шину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только пря­мой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямо­го кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.


Рис.1

Рис.2


Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 3). В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось кону­са (рис. 4). [1]


Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

Доказательство. Пусть - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

Задача: Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота H.

Решение. Сечение конуса получается из основания конуса преобразованием гомотетии . Поэтому радиус круга в сечении . Следовательно, площадь сечения

.


Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 6).





П
Рис.3

Рис.5

Рис.4
ирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж­ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 7). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, яв­ляются образующими конуса.


Рис.7

Рис.8

Рис.5

Рис.6



Задача: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.

Решение. Опустим перпендикуляр ^ SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 8) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через l. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние

.

Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом R.

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую (рис. 9).

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около


Рис.9

Рис.10



основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. 10). Плоскости боковых граней описанной пирамиды являются касательными плоскостями конуса.

В 16-м предложении Архимед выводит формулу для площади боковой поверхности усечённого конуса, которую можно записать по-современному так: S=Pi (l*(r+R))^2=Pil*(r+R). (1)


Ныне применяется и другой вид формулы (1), получаемый введением радиуса p, равного среднему арифметическому радиусов оснований конусов, т.е. p=(R+r)/2; тогда из формулы (1) получаем: S=2Pipl.


Рис.11

Впишем в конус правильную n-угольную пирамиду (рис. 11). Площадь ее боковой поверхности

,

где Pn – периметр основания пирамиды, а ln - апофема.

При неограниченном увеличении n периметр основания Pn неограниченно

приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема ln - к длине l образующей. Соответственно боковая поверхность пирамиды неог­раниченно приближается к . В связи с этим величина принимается за площадь боковой поверхности конуса.

Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется формуле



где ^ R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

Аналогично для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R1, R2 и образующей l полу­чается формула

[3]




^ Построение конуса


Представьте себе осажденную средневековую крепость, над крепостными стенами возвышаются круглые башни. Они покрыты коническими крышами, которые напоминают воронки, перевернутые острым концом вверх. Вдали за стенами видны церковные шпили – круглой формы в виде конуса. Представьте себе часовых на крепостных стенах. Они вооружены четырехгранными рапирами и трехгранными шпагами, клинки которых похожи на вытянутые конусы. Недалеко от крепости на опушке леса растут конической форме елочки. Там раскинулся лагерь осаждающего войска. Вот конические шатры воинов. А ближе к лесу – палатки. Ближе к крепости высятся конусы осадных башен, которые издалека кажутся маленькими телевизионными вышками. Не будем дожидаться боя. Ведь сейчас нас интересует только конусы. Возьмём лучше бумагу, ножницы и клей и смастерим конус. Конус сделать очень легко. Нарисуем круг и два его радиуса. Вырежем часть круга, находящегося между радиусами. Из оставшейся его части склейте бумажный колпачок. Приклейте к нему снизу круглое основание, и конус готов. Мы можем рассмотреть его элементы. Что же такое конус? Конусом называется тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L. Конус состоит из круга- основания конуса. [2]





^ Применение конуса в быту.


Знания о конусе широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке. Например, в быту мы часто используем вёдра, имеющие форму усечённого конуса, служащие нам ёмкостью для различных жидкостей и сыпучих веществ. Наши растения, благоприятно развиваются в цветочных горшках. А эти предметы чаще всего имеют форму либо прямого кругового конуса, либо форму усечённого конуса.

Для переливания жидкостей из более крупной посуды, в более мелкую мы используем воронку. Если присмотреться к её форме, мы заметим, что она похожа на усечённый конус.

Идя по улице, мы можем увидеть человека с интересным приспособлением в руках. Это рупор. Он служит для усиления звука, то есть он является громкоговорителем.



Многие музыкальные инструменты имеют конические элементы. Например, карнай среднеазиатский, зурна армянская, продольная флейта. А если мы вспомним древнего музыканта, который однажды подул в кость, и превратил её в духовный инструмент. Назовём его флейтой, гобоем, кларнетом, дудкой, фаготом. Это деревянные духовные инструменты. Но есть так же группа медных духовных – валторна, труба, тромбон, туба и их разновидности.

В жизни мы нередко встречаемся с конусами. Лампа с металлическим абажуром отбрасывает пучок света в виде конуса. Причём если абажур не расположен параллельно к земле, то конус не будет являться круговым. Его основание образует вытянутая фигура, называемая эллипсом. Если из круга вырезать сектор, а затем склеить его, получиться конус. [6]

Одной из самых распространённых канцелярских принадлежностей является ручка. Она имеет конический элемент на конце. Этим элементом является зауженный конец ручки.




^ Применение конуса в архитектуре


При построении различных зданий и сооружений очень требуются познания в области геометрии, а особенно в таком её разделе, как стереометрия. А, в свою очередь, рассматриваемая нами, фигура относится именно к этому разделу.

Очень часто мы встречаем конус в элементах архитектуры. Ярким примером этого наблюдения является конус, который лежит в основании крыш домов. Мы хотели бы проиллюстрировать наши наблюдения.










Нахождение конуса в природе


В природе мы часто встречаем конус. Например, в песчаной пустыне Сахаре, где сами холмы представляют собой конус.





А так же в космическом пространстве.



^ Результаты проделанной работы

При подготовке к этой работе мы узнали много нового о геометрической фигуре конус. Например, мы стали внимательнее относиться к предметам, окружающим нас в повседневной жизни. Мы обнаружили, что вокруг очень много различных геометрических фигур, в том числе и конус. Он очень широко применяется нами в быту. Так же мы часто сталкиваемся с этой геометрической фигурой в природе. Она широко применяется в промышленности, так как большинство ёмкостей для растворов имеет конусовидную форму.

Если мы пройдёмся по улице какого-либо города, то, наверняка, заметим, что элементы конуса встречаются в архитектуре. Примером этого служат крыши различных зданий и сооружений, где мы с лёгкостью можем увидеть конус.

Так же знания о конусе и его элементов иногда очень требуется в жизни. Например, при подсчёте объёма жидкости, находящейся в ведре, которое имеет форму прямого кругового конуса или усечённого конуса.





Социологический опрос среди 9-х классов


Вопросы, задаваемые ученикам 9-х классов:


  1. Нарисуйте конус.

  2. Запишите названия элементов конуса?

  3. Какую фигуру стоит вращать, чтобы получить конус?

  4. Где в обыденной жизни вы встречаете конус?

  5. Нарисуйте усечённый конус.




Опрос учеников 9-х классов


20


18


16


14


12

-


10

+


8


6





4


2


0

1

2

3

4

5

Социологический опрос среди 11-х классов


Вопросы, задаваемые ученикам 11-х классов:


  1. Какая геометрическая фигура является телом, ограниченным конической поверхностью и имеющим в основании круг?

  2. Как называется прямая, проходящая через центр круга, лежащего в основании, и вершину конуса?

  3. Какую фигуру стоит вращать, чтобы получить конус?

  4. Можно ли найти объём, зная лишь площадь конуса и его высоту?

  5. Приведите три примера использования конуса в быту?

  6. Является ли усечённый конус телом вращения?

  7. Какую фигуру стоит вращать, чтобы получить усечённый конус?




Опрос учеников 11-х классов




100%


90%


80%


60%

70%


50%

-


40%

+


30%


10%

20%


0%


1

2

3

4

5

6

7

Литература, используемая нами при работе над этим рефератом


[1] Атанасян П.М., Бутузов М.В., Кадомцев А.В., Киселёва А.И..«Геометрия 10-11»

Просвещение 1996 стр. 125-131


[2] Атанасян П.М., Бутузов М.В., Кадомцев А.В., Киселёва А.И.. «Геометрия 7-9» Просвещение 2001 стр. 3-4


[3] Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики» Дрофа 2003 стр. 156-172


[4] Дорохов А.А., Михайлов М.М., Куценко Г.М., Назаров А.А. «Что такое? Кто такой?» Дрофа 2005 стр. 283-285


[5] Дорохов А.А., Михайлов М.М., Куценко Г.М., Назаров А.А. «Что такое? Кто такой?» Дрофа 2005 стр. 309-313


[6] Погорелов М.И. «Геометрия 7-11» Просвещение 2001 стр. 164





Кроссворд





Д













Е

Т










М

Р

У

Ч

К

А







О

Е













К

Р

У

Г







Р




Г







И

О







К

А

С

А

Т

Е

Л

Ь

Н

А

Я




О




О










Ь




У

С

Е

Ч

Е

Н

Н

Ы

Й

Н




Ь




У




И










В

Ы

С

О

Т

А

К










Б













Р







Б

О

К

О

В

А

Я




Ю







З




Л




П

Р

Я

М

О

У

Г

О

Л

Ь

Н

А

Я










Ю
















В

Р

А

Щ

Е

Н

И

Я







А










П

Р

Я

М

О

Й



Вопросы:


По горизонтали:


  1. Что лежит в основании любого конуса?

  2. Канцелярская принадлежность, у которой один из важных элементов имеет коническую форму?

  3. Как называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения?

  4. Оставшаяся часть конуса, от которого плоскость, параллельная основанию конуса отсекает меньший конус?

  5. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания?

  6. Какую трапецию надо вращать, чтобы получить усечённый конус?

  7. Каким телом можно назвать конус?

  8. Как называется конус, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания под углом 90 градусов?


По вертикали:

  1. Кто первым нашёл объём конуса?

  2. Какое прямоугольное тело надо вращать, чтобы получить конус?

  3. Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом в основании?

  4. Прямая содержащая высоту конуса?

  5. Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания?

  6. Детская игрушка, в основании которой лежат два конуса, которые имеют общее основание?




metod-postroeniya-i-informacionno-matematicheskoe-obespechenie-bortovoj-avtomatizirovannoj-sistemi-snizheniya-riska-vikativaniya-vozdushnih-sudov-na-probege.html
metod-priznaniya-dohodov-i-rashodov-buhgalterskij-finansovij-uchet-na-temu-uchetnaya-politika-organizacij-3.html
metod-proektov-kak-sposob-integracii-subektov-obrazovaniya-na-urokah-istorii.html
metod-proektov-na-urokah-anglijskogo-yazika.html
metod-proektov-na-uroke-geografii.html
metod-proektov-v-obuchenii-inostrannomu-yaziku.html
  • crib.bystrickaya.ru/k-teme-10-utverzhdeno-na-zasedanii-kafedri-teorii-gosudarstva-i-prava-i-konstitucionnogo-prava-protokol-6-ot.html
  • thesis.bystrickaya.ru/programma-kursa-programmirovanie-na-yazike-s-razrabotka-konsolnih-prilozhenij.html
  • letter.bystrickaya.ru/nemnogo-o-smeshenii-andrej-makarevich.html
  • lecture.bystrickaya.ru/b3v17-servisnaya-politika-firmi-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-napravlenie-podgotovki-080200-62-05-menedzhment.html
  • shkola.bystrickaya.ru/tehnologii-silnogo-mishleniya-dlya-menedzhera.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-upravlenie-personalom-dlya-specialnosti-menedzhment-organizacii-080507.html
  • university.bystrickaya.ru/galakticheskie-mayaki-prishelci-oni-uzhe-zdes.html
  • exam.bystrickaya.ru/vozmezdnoe-okazanie-uslug-chast-4.html
  • pisat.bystrickaya.ru/sravnitelnij-analiz-podhodov-k-motivacii-effektivnosti-truda-i-upravleniya-personalom-v-rossii-i-za-rubezhom.html
  • college.bystrickaya.ru/3-porozhdenie-chetireh-protivoyadij-prodolzhenie-kommentariya-k-lamrimu-25-iyulya-5-avgusta-2008-goda-oz-bajkal.html
  • school.bystrickaya.ru/18-dostupnost-i-kachestvo-zhilya-poyasnitelnaya-zapiska-k-dokladu-glavi-municipalnogo-obrazovaniya.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/primechaniya-respubliki-dagestan-po-delam-religij-gosudarstvo-i-religiya-v-dagestane-informacionno-analiticheskij.html
  • znanie.bystrickaya.ru/avkrivov-razvitie-deterministskih-teorii-emocij-v-psihologii-psihologii-i-psihoterapii.html
  • report.bystrickaya.ru/istoricheskie-predposilki-t-n-vorojskaya-vgi-mosu-kandidat-istoricheskih-nauk-docent.html
  • lesson.bystrickaya.ru/otklonenie-luchej-sveta-v-kosmose.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vnedrenie-sistemi-upravleniya-riskami-v-oao-mash-sposobno-okazat-blagopriyatnoe-vliyanie-na-finansovoe-polozhenie-i-delovuyu-reputaciyu-predpriyatiya.html
  • composition.bystrickaya.ru/organizaciya-perevozok-opasnih-gruzov.html
  • shkola.bystrickaya.ru/programma-disciplini-sistema-nalogov-i-sborov-rossijskoj-federacii-nalogovij-praktikum-dlya-napravleniya-030500-68-yurisprudenciya-podgotovki-magistra.html
  • books.bystrickaya.ru/egionalnim-centram-rossii-i-dr-s-1998-goda-informaciya-rassilaetsya-v-tom-chisle-na-disketah-v-formate-rtf.html
  • grade.bystrickaya.ru/nazvanie-sekcii-kruzhka-studii-kluba-2006-god-shkola-stala-obladatelem-granta-prezidenta-chuvashskoj-respubliki.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/plan-servisnogo-centra-posobie-adresovano-visshim-rukovoditelyam-i-menedzheram-kompanij-dejstvuyushih-na-rinke-kolesnoj.html
  • studies.bystrickaya.ru/iordaniya-ozhidanie-proroka.html
  • abstract.bystrickaya.ru/-8-dogovor-vois-po-ispolneniyam-i-fonogrammam-uchebnik-bliznec-i-a-leontev-k-b-pod-red-i-a-blizneca-.html
  • composition.bystrickaya.ru/plan-meropriyatij-po-nadzoru-za-soblyudeniem-trebovanij-pozharnoj-bezopasnosti-na-obektah-nadzora-raspolozhennih-na-territorii-lazovskogo-rajona-na-2009-2013-goda-pp-stranica-4.html
  • shkola.bystrickaya.ru/pamyati-moej-materi-evgenii-ginzburg-stranica-7.html
  • esse.bystrickaya.ru/razdel-13-zaklyuchitelnie-i-perehodnie-polozheniya-kodeks-respubliki-kazahstan-ot-4-dekabrya-2008-goda-95-iv-kazahstanskaya.html
  • klass.bystrickaya.ru/agde-mne-vzyat-takuyu-pesnyu-stranica-6.html
  • control.bystrickaya.ru/e-ozhidaemie-itogi-obzora-russian-original-english-konferenciya-storon-konvencii-o-biologicheskom-raznoobrazii.html
  • knowledge.bystrickaya.ru/metodicheskie-ukazaniya-k-laboratornoj-rabote-sostavitel-v-p-pershin.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prilozhenie-5-spravochnoe-inzhenernie-iziskaniya-dlya-proektirovaniya-teplovih-elektricheskih-stancij-vsn-34-72-111-92.html
  • writing.bystrickaya.ru/altajskij-etnos-v-sisteme-rossijskoj-gosudarstvennosti-chast-13.html
  • testyi.bystrickaya.ru/7-sostavlenie-nomenklaturi-del-instrukciya-po-deloproizvodstvu-v-magnitogorskom-gosudarstvennom.html
  • klass.bystrickaya.ru/alikovskoj-srednyaya-obsheobrazovatelnoj-shkola-im-i-ya-yakovleva.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/opredelenie-uskoreniya-svobodnogo-padeniya-s-pomoshyu-fizicheskogo-mayatnika-rukovodstvo-k-vipolneniyu.html
  • shkola.bystrickaya.ru/problematika-romana-i-a-goncharova-oblomov.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.